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Lecture 3 函数

3.1 函数的定义与性质

1. 函数的基本定义

函数是一种特殊的二元关系。 * 定义：设 \(F\) 为二元关系，若对于定义域 \(domF\) 中的任意 \(x\)，都存在唯一的 \(y \in ranF\) 使得 \(xFy\) 成立，则称 \(F\) 为函数（或映射）。 * 记法：如果有 \(xFy\)，则记作 \(y = F(x)\)，称 \(y\) 为 \(F\) 在 \(x\) 的值。 * 函数的相等：如果两个函数 \(F\) 和 \(G\) 相等（\(F = G\)），必须满足两个条件： 1. \(domF = domG\) 2. 对任意 \(x \in domF\)，都有 \(F(x) = G(x)\) * 从 A 到 B 的函数：设 \(A, B\) 为集合，如果 \(f\) 为函数，\(domf = A\) 且 \(ranf \subseteq B\)，则称 \(f\) 为从 \(A\) 到 \(B\) 的函数，记作 \(f: A \rightarrow B\)。 * 集合 \(B^A\)：所有从 \(A\) 到 \(B\) 的函数的集合记作 \(B^A\)，读作“B 上 A”。 * 若 \(|A| = m, |B| = n\)，则 \(|B^A| = n^m\)。

2. 函数的像与完全原像

设函数 \(f: A \rightarrow B\)，\(A_1 \subseteq A\)，\(B_1 \subseteq B\)。 * 像：\(f(A_1) = \{f(x) | x \in A_1\}\) 称为 \(A_1\) 在 \(f\) 下的像。当 \(A_1 = A\) 时，\(f(A)\) 为函数的像。 * 完全原像：\(f^{-1}(B_1) = \{x | x \in A \land f(x) \in B_1\}\)，称为 \(B_1\) 在 \(f\) 下的完全原像。 * 注意：函数值 \(f(x) \in B\)，而像 \(f(A_1) \subseteq B\)。一般地，\(f^{-1}(f(A_1)) \neq A_1\)，但 \(A_1 \subseteq f^{-1}(f(A_1))\)。

3. 函数的性质（重要）

设 \(f: A \rightarrow B\)。 * 满射 (Surjection)：若 \(ranf = B\)，即对任意 \(y \in B\)，都存在 \(x \in A\) 使得 \(f(x) = y\)。 * 单射 (Injection)：若对任意 \(y \in ranf\)，都存在唯一的 \(x \in A\) 使得 \(f(x) = y\)。换言之，若 \(f(x_1) = f(x_2)\)，则必有 \(x_1 = x_2\)。 * 双射 (Bijection)：若 \(f\) 既是满射又是单射，则称 \(f\) 为双射（或一一映射）。

4. 常用函数

  • 常函数：存在 \(c \in B\)，使得对任意 \(x \in A\) 都有 \(f(x) = c\)。
  • 恒等函数：\(A\) 上的恒等关系，对任意 \(x \in A\) 都有 \(I_A(x) = x\)。
  • 单调函数：设 \(\langle A, \leq \rangle, \langle B, \leq \rangle\) 为偏序集。若 \(x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) \leq f(x_2)\)，为单调递增；若 \(x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)\)，为严格单调递增。
  • 特征函数：对于 \(A' \subseteq A\)，其特征函数 \(\chi_{A'}: A \rightarrow \{0, 1\}\) 定义为：\(a \in A'\) 时取 \(1\)，\(a \in A - A'\) 时取 \(0\)。
  • 自然映射：设 \(R\) 是 \(A\) 上的等价关系，\(g: A \rightarrow A/R\) 定义为 \(g(a) = [a]\)。

3.2 函数的复合与反函数

1. 函数的复合

函数是特殊的二元关系，函数的复合即关系的右复合。 * 定义与性质：设 \(F, G\) 是函数，则 \(F \circ G\) 也是函数，且： 1. \(dom(F \circ G) = \{x | x \in domF \land F(x) \in domG\}\) 2. 对任意 \(x \in dom(F \circ G)\)，有 \(F \circ G(x) = G(F(x))\) * 结合律：\((F \circ G) \circ H = F \circ (G \circ H)\) * 合成定理：设 \(f: A \rightarrow B, g: B \rightarrow C\)，则 \(f \circ g: A \rightarrow C\)，且对任意 \(x \in A\)，\(f \circ g(x) = g(f(x))\)。

2. 复合运算对性质的保持

设 \(f: A \rightarrow B, g: B \rightarrow C\)。 * 若 \(f, g\) 都是满射，则 \(f \circ g\) 也是满射。 * 若 \(f, g\) 都是单射，则 \(f \circ g\) 也是单射。 * 若 \(f, g\) 都是双射，则 \(f \circ g\) 也是双射。 * 恒等函数性质：\(f = f \circ I_B = I_A \circ f\)。

3. 反函数

  • 存在条件：任给函数，其逆不一定是函数（可能只是二元关系）。当且仅当 \(f: A \rightarrow B\) 是双射时，其逆 \(f^{-1}: B \rightarrow A\) 也是双射的，此时称 \(f^{-1}\) 为 \(f\) 的反函数。
  • 反函数性质：若 \(f: A \rightarrow B\) 是双射的，则：
  • \(f^{-1} \circ f = I_B\)
  • \(f \circ f^{-1} = I_A\)

3.3 双射函数与集合的基数

1. 集合的等势与优势

集合的“势”是衡量集合所含元素多少的量。 * 等势 (Equipotence)：如果存在从 \(A\) 到 \(B\) 的双射函数，则称 \(A\) 和 \(B\) 等势，记作 \(A \approx B\)。 * 具有自反性、对称性、传递性。 * 例如：\(\mathbb{N} \approx \mathbb{Z} \approx \mathbb{Q} \approx \mathbb{N} \times \mathbb{N}\)；实数区间 \((0,1) \approx [0,1] \approx \mathbb{R}\)。 * 优势：如果存在从 \(A\) 到 \(B\) 的单射函数，称 \(B\) 优势于 \(A\)，记作 \(A \leq \cdot B\)。 * 若 \(A \leq \cdot B\) 且 \(B \leq \cdot A\)，则 \(A \approx B\)。

2. 有穷集与集合的基数

  • 自然数集 \(\mathbb{N}_k\)：定义 \(\mathbb{N}_k = \{0, 1, ..., k-1\}\)（当 \(k \geq 1\) 时）。
  • 有穷集/无穷集：一个集合是有穷的当且仅当它与某个 \(\mathbb{N}_k\) 等势；否则为无穷集。
  • 基数 (Cardinality)：
  • 与有穷集 \(A\) 等势的 \(\mathbb{N}_k\) 的元素数 \(k\) 称为 \(A\) 的基数，记作 \(cardA = k\) 或 \(|A| = k\)。
  • 自然数集 \(\mathbb{N}\) 的基数记作 \(\aleph_0\)（阿列夫零）。
  • 实数集 \(\mathbb{R}\) 的基数记作 \(\aleph\)（阿列夫）。
  • 基数大小比较：
  • \(cardA = cardB \Leftrightarrow A \approx B\)
  • \(cardA \leq cardB \Leftrightarrow A \leq \cdot B\)
  • \(\aleph_0 < \aleph\)
  • 康托尔定理：\(cardA < cardP(A)\)（集合的基数严格小于其幂集的基数，说明不存在最大的基数）。

3. 可数集 (Countable Sets)

  • 定义：若 \(cardA \leq \aleph_0\)，则称 \(A\) 为可数集（或可列集）。
  • 例子：自然数集 \(\mathbb{N}\)，整数集 \(\mathbb{Z}\)，有理数集 \(\mathbb{Q}\) 等。实数集 \(\mathbb{R}\) 不是可数集。
  • 性质：
  • 可数集的任何子集都是可数集。
  • 两个可数集的并、笛卡儿积仍是可数集。
  • 可数个可数集的笛卡儿积仍是可数集。
  • 无穷集 \(A\) 的幂集 \(P(A)\) 不是可数集。